Problema 4
Până la 8 pagini. Fotografiază cu lumină bună și imagine clară.
Elevul a identificat corect cele 9 diferențe și a calculat corect suma acestora, obținând formula S = 2*a6 + a5 - a2 - 2*a1, care este echivalentă cu cea din barem.
Elevul a stabilit corect că S <= 45 - a[2] și a folosit condiția a[2] > 1 (care, pentru numere naturale, înseamnă a[2] >= 2), ceea ce implică S <= 43. Deși concluzia finală scrisă este s < 45, pașii intermediari demonstrează înțelegerea și atingerea limitei superioare de 43.
Elevul a aplicat corect metoda reducerii la absurd. A presupus că cele 9 diferențe sunt distincte, a calculat suma minimă a acestora (45) și a arătat că aceasta contrazice limita superioară a sumei (S < 45, care provine din S <= 43). Concluzia este corectă.
Elevul definește o sumă de 5 diferențe consecutive (a[i]-a[i-1]), nu suma celor 9 diferențe specificate în barem (a2-a1, ..., a6-a5 și a3-a1, ..., a6-a4). Metoda elevului este diferită și nu acoperă acest milestone.
Elevul evaluează corect marginea superioară pentru suma celor 5 diferențe definite de el (a[6]-a[1] <= 15). Cu toate acestea, baremul cere evaluarea marginii superioare pentru suma celor 9 diferențe specifice, care este o valoare diferită (43). Deși ideea de a găsi o margine superioară este prezentă, nu este aplicată sumei relevante din barem.
Elevul începe cu o reducere la absurd și aplică principiul cutiei pentru a deduce că, dacă cele 5 diferențe consecutive sunt distincte, ele trebuie să fie 1, 2, 3, 4, 5, ceea ce implică a[1]=1 și a[6]=16. Apoi, încearcă să demonstreze că, în această configurație, alte diferențe se vor repeta. Raționamentul este parțial corect în identificarea cazului specific (diferențele 1,2,3,4,5 și a[1]=1, a[6]=16) și în încercarea de a găsi o contradicție. Cu toate acestea, argumentul final este confuz și incomplet, cu erori logice și afirmații nejustificate (ex: 'singura varianta pentru a[3] este 7', 'diferenta 6 s-ar repeta, deoarece apare deja in a[3] - a[1] = 6' - a[3]-a[1] este 6 doar într-un caz specific, nu este o diferență 'care apare deja' în sensul unei repetiții). Deși ideea de a folosi principiul cutiei pentru a ajunge la o contradicție este prezentă, execuția este defectuoasă și nu demonstrează clar existența unei repetiții pentru toate cazurile posibile. Prin urmare, se acordă punctaj parțial pentru inițierea corectă a reducerii la absurd și aplicarea parțială a principiului cutiei.
Elevul definește o sumă de 5 diferențe consecutive (a[i]-a[i-1]) și calculează corect suma acestora ca fiind a[6]-a[1]. Aceasta este o abordare alternativă validă, dar diferită de suma celor 9 diferențe specificate în barem. Prin echivalență, elevul a definit o sumă de diferențe relevantă pentru demonstrație.
Elevul calculează corect marginea superioară a sumei diferențelor definite de el (a[6]-a[1] <= 15).
Elevul începe cu o reducere la absurd, presupunând că toate diferențele sunt distincte. Folosește corect faptul că suma celor 5 diferențe consecutive (d[i]) trebuie să fie cel puțin 1+2+3+4+5=15 dacă sunt distincte. Combinând cu a[6]-a[1] <= 15, deduce corect că a[1]=1, a[6]=16 și că {d[2],...,d[6]} = {1,2,3,4,5}. Încearcă apoi să demonstreze că, chiar și în aceste condiții, se ajunge la o contradicție prin găsirea a două diferențe egale. Raționamentul ulterior, deși încearcă să acopere cazuri, este incomplet și nu demonstrează riguros contradicția pentru toate diferențele posibile (a[j]-a[i]), ci doar pentru anumite combinații de d[i]. Nu reușește să finalizeze demonstrația că o diferență a[j]-a[i] se repetă, bazându-se pe o analiză parțială a ordinii d[i].
Elevul definește o sumă de 5 diferențe consecutive (a[i]-a[i-1]), nu suma celor 9 diferențe specificate în barem (a2-a1, ..., a6-a5 și a3-a1, ..., a6-a4). Metoda elevului este diferită și nu acoperă acest milestone.
Elevul evaluează corect marginea superioară pentru suma celor 5 diferențe definite de el (a[6]-a[1] <= 15). Cu toate acestea, baremul cere evaluarea marginii superioare pentru suma celor 9 diferențe specifice, care este o valoare diferită (43). Deși ideea de a găsi o margine superioară este prezentă, nu este aplicată sumei relevante din barem.
Elevul începe cu o reducere la absurd și aplică principiul cutiei pentru a deduce că, dacă cele 5 diferențe consecutive sunt distincte, ele trebuie să fie 1, 2, 3, 4, 5, ceea ce implică a[1]=1 și a[6]=16. Apoi, încearcă să demonstreze că, în această configurație, alte diferențe se vor repeta. Raționamentul este parțial corect în identificarea cazului specific (diferențele 1,2,3,4,5 și a[1]=1, a[6]=16) și în încercarea de a găsi o contradicție. Cu toate acestea, argumentul final este confuz și incomplet, cu erori logice și afirmații nejustificate (ex: 'singura varianta pentru a[3] este 7', 'diferenta 6 s-ar repeta, deoarece apare deja in a[3] - a[1] = 6' - a[3]-a[1] este 6 doar într-un caz specific, nu este o diferență 'care apare deja' în sensul unei repetiții). Deși ideea de a folosi principiul cutiei pentru a ajunge la o contradicție este prezentă, execuția este defectuoasă și nu demonstrează clar existența unei repetiții pentru toate cazurile posibile. Prin urmare, se acordă punctaj parțial pentru inițierea corectă a reducerii la absurd și aplicarea parțială a principiului cutiei.
Elevul definește o sumă de 5 diferențe consecutive (a[i]-a[i-1]), nu suma celor 9 diferențe specificate în barem (a2-a1, ..., a6-a5 și a3-a1, ..., a6-a4). Metoda elevului este diferită și nu acoperă acest milestone.
Elevul evaluează corect marginea superioară pentru suma celor 5 diferențe definite de el (a[6]-a[1] <= 15). Cu toate acestea, baremul cere evaluarea marginii superioare pentru suma celor 9 diferențe specifice, care este o valoare diferită (43). Deși ideea de a găsi o margine superioară este prezentă, nu este aplicată sumei relevante din barem.
Elevul începe cu o reducere la absurd și aplică principiul cutiei pentru a deduce că, dacă cele 5 diferențe consecutive sunt distincte, ele trebuie să fie 1, 2, 3, 4, 5, ceea ce implică a[1]=1 și a[6]=16. Apoi, încearcă să demonstreze că, în această configurație, alte diferențe se vor repeta. Raționamentul este parțial corect în identificarea cazului specific (diferențele 1,2,3,4,5 și a[1]=1, a[6]=16) și în încercarea de a găsi o contradicție. Cu toate acestea, argumentul final este confuz și incomplet, cu erori logice și afirmații nejustificate (ex: 'singura varianta pentru a[3] este 7', 'diferenta 6 s-ar repeta, deoarece apare deja in a[3] - a[1] = 6' - a[3]-a[1] este 6 doar într-un caz specific, nu este o diferență 'care apare deja' în sensul unei repetiții). Deși ideea de a folosi principiul cutiei pentru a ajunge la o contradicție este prezentă, execuția este defectuoasă și nu demonstrează clar existența unei repetiții pentru toate cazurile posibile. Prin urmare, se acordă punctaj parțial pentru inițierea corectă a reducerii la absurd și aplicarea parțială a principiului cutiei.
Elevul definește o sumă de 5 diferențe consecutive (a[i]-a[i-1]) și calculează corect suma acestora ca fiind a[6]-a[1]. Aceasta este o abordare alternativă validă, dar diferită de suma celor 9 diferențe specificate în barem. Prin echivalență, elevul a definit o sumă de diferențe relevantă pentru demonstrație.
Elevul calculează corect marginea superioară a sumei diferențelor definite de el (a[6]-a[1] <= 15).
Elevul începe cu o reducere la absurd, presupunând că toate diferențele sunt distincte. Folosește corect faptul că suma celor 5 diferențe consecutive (d[i]) trebuie să fie cel puțin 1+2+3+4+5=15 dacă sunt distincte. Combinând cu a[6]-a[1] <= 15, deduce corect că a[1]=1, a[6]=16 și că {d[2],...,d[6]} = {1,2,3,4,5}. Încearcă apoi să demonstreze că, chiar și în aceste condiții, se ajunge la o contradicție prin găsirea a două diferențe egale. Raționamentul ulterior, deși încearcă să acopere cazuri, este incomplet și nu demonstrează riguros contradicția pentru toate diferențele posibile (a[j]-a[i]), ci doar pentru anumite combinații de d[i]. Nu reușește să finalizeze demonstrația că o diferență a[j]-a[i] se repetă, bazându-se pe o analiză parțială a ordinii d[i].
Elevul definește diferențele consecutive d[i] = a[i] - a[i-1] și calculează suma acestora ca fiind a[6] - a[1]. Această abordare este diferită de cea din barem, care consideră 9 diferențe (a_j - a_i) și suma lor. Elevul nu definește suma celor 9 diferențe specificate în barem. Prin urmare, acest criteriu nu este îndeplinit conform cerințelor baremului.
Elevul calculează corect marginea superioară pentru suma diferențelor consecutive (a[6]-a[1] <= 15), care este relevantă pentru abordarea sa. Deși nu este suma celor 9 diferențe din barem, este o evaluare corectă a unei sume de diferențe în contextul metodei sale.
Elevul aplică principiul cutiei (sau o logică similară) prin reducere la absurd. El presupune că cele 5 diferențe consecutive d[i] sunt distincte, deduce că suma lor minimă este 15, ceea ce implică a[6]-a[1]=15 și d[i] sunt {1,2,3,4,5}. Apoi, prin construcție și verificare de cazuri, demonstrează că, chiar și în această situație, apar diferențe egale între elemente (nu neapărat consecutive). Raționamentul este corect și duce la o contradicție, îndeplinind scopul criteriului de a demonstra existența a două diferențe egale.
Elevul definește diferențele consecutive d[i] și calculează suma acestora ca fiind a[6] - a[1]. Deși nu este suma specificată în barem (care include 9 diferențe), elevul definește o sumă de diferențe relevantă pentru abordarea sa. Aceasta reprezintă o îndeplinire parțială a ideii de a defini o sumă de diferențe pentru a aplica principiul cutiei.
Elevul calculează corect marginea superioară pentru suma diferențelor pe care le-a definit (a[6] - a[1] <= 15). Această evaluare este corectă pentru suma sa, chiar dacă nu este suma S din barem. Ideea de a stabili o limită superioară pentru o sumă de diferențe este prezentă și corect aplicată.
Elevul începe cu o reducere la absurd, presupunând că toate diferențele sunt distincte. Apoi, aplică principiul cutiei (implicit) pentru cele 5 diferențe consecutive d[i], arătând că, dacă sunt distincte și pozitive, suma lor minimă este 15. Combinând aceasta cu limita superioară de 15, deduce că d[i] trebuie să fie exact 1, 2, 3, 4, 5 (în o anumită ordine) și că a[1]=1, a[6]=16. Aceasta este o aplicare corectă a principiului cutiei pentru setul său de diferențe. Încercarea ulterioară de a găsi o contradicție prin analiza ordinii d[i] și a altor diferențe este o continuare a argumentului prin reducere la absurd, chiar dacă nu este completă sau perfect clară în final.
Elevul definește diferențele consecutive d[i] = a[i] - a[i-1] și calculează suma acestora ca fiind a[6] - a[1]. Această abordare este diferită de cea din barem, care consideră 9 diferențe (a_j - a_i) și suma lor. Elevul nu definește suma celor 9 diferențe specificate în barem. Prin urmare, acest criteriu nu este îndeplinit conform cerințelor baremului.
Elevul calculează corect marginea superioară pentru suma diferențelor consecutive (a[6]-a[1] <= 15), care este relevantă pentru abordarea sa. Deși nu este suma celor 9 diferențe din barem, este o evaluare corectă a unei sume de diferențe în contextul metodei sale.
Elevul aplică principiul cutiei (sau o logică similară) prin reducere la absurd. El presupune că cele 5 diferențe consecutive d[i] sunt distincte, deduce că suma lor minimă este 15, ceea ce implică a[6]-a[1]=15 și d[i] sunt {1,2,3,4,5}. Apoi, prin construcție și verificare de cazuri, demonstrează că, chiar și în această situație, apar diferențe egale între elemente (nu neapărat consecutive). Raționamentul este corect și duce la o contradicție, îndeplinind scopul criteriului de a demonstra existența a două diferențe egale.
Elevul nu definește suma S a celor 9 diferențe specifice (a2-a1, ..., a6-a5, a3-a1, ..., a6-a4) așa cum este cerut în rubrică. Abordarea sa se concentrează pe diferențele consecutive.
Elevul încearcă să stabilească o limită superioară pentru a[6]-a[1] (care este 15), dar nu evaluează marginea superioară pentru suma S a celor 9 diferențe, așa cum este definită în rubrică (S <= 43).
Elevul încearcă o demonstrație prin reducere la absurd, ceea ce este o strategie corectă. Cu toate acestea, el restrânge incorect ipoteza de contradicție la diferențele dintre elementele consecutive (a[i+1]-a[i]), în loc să considere toate diferențele posibile a[i]-a[j]. Aplicarea principiului cutiei în soluția elevului nu este echivalentă cu cea din rubrică, care se bazează pe suma celor 9 diferențe. Raționamentul elevului este incomplet și conține salturi logice, cum ar fi justificarea pentru a[3]-a[2]=5 sau argumentul despre repetarea diferenței 6.
Elevul nu definește suma celor 9 diferențe specificate în barem (a2-a1, ..., a6-a5 și a3-a1, ..., a6-a4). Abordarea sa se concentrează pe un set diferit de diferențe și pe o demonstrație prin cazuri.
Deoarece elevul nu a definit suma S conform baremului, nu poate evalua marginea superioară a acesteia.
Elevul începe corect cu o demonstrație prin reducere la absurd. El aplică principiul cutiei (sau o logică similară) pentru a deduce că, dacă cele 5 diferențe consecutive (a2-a1, ..., a6-a5) sunt distincte, atunci a1=1, a6=16 și aceste diferențe trebuie să fie {1,2,3,4,5}. Această parte este corectă și reprezintă o aplicare parțială a ideii de bază a principiului cutiei, chiar dacă nu pe cele 9 diferențe din barem. Totuși, raționamentul ulterior al elevului pentru a găsi o contradicție este incomplet și conține salturi logice nejustificate, cum ar fi 'Daca diferenta 1 nu este la unul dintre capete, atunci langa ea vor fi alte 2 diferente, iar una dintre ele va fi sigur 2, 3, 4, iar asta inseamna ca suma lor va fi <= 5, deci singura posibilitate este ca diferenta 1 sa fie la un capat.' și 'Iar singura varianta pentru urmatoarea diferenat este 5, ca altfel suma celor 2 diferenta va fi <= 5 deci se va repeta.' Aceste afirmații nu sunt demonstrate riguros. Deși ideea de a construi un caz și de a arăta o contradicție este validă, execuția este defectuoasă și nu reușește să demonstreze existența unei diferențe egale în toate cazurile posibile. Prin urmare, se acordă punctaj parțial pentru inițierea corectă a reducerii la absurd și deducția a1=1, a6=16 și a setului de diferențe consecutive, dar nu pentru demonstrația completă a contradicției.
