Problema 4 — Olimpiada de Matematică - Etapa Națională 2015 · Clasa a VIII-a

Problema 4

Geometrie în spațiuNumere întregiAlgebrăCombinatorică

Trimite rezolvarea ta

Trebuie să te autentifici pentru a trimite.

Trage rezolvarea ta aici

sau apasă pentru a alege din galerie sau cameră

Până la 8 pagini. Fotografiază cu lumină bună și imagine clară.

Rezolvări

@DavidRadavoi

26.05.2026, 13:58

86/100

Feedback AI

Reprezentări vizuale: Scrisul este în general lizibil. Se recomandă o mai bună organizare a argumentelor pentru a crește claritatea soluției.

Raționament: Elevul a demonstrat o înțelegere bună a problemei și a aplicat proprietățile corecte ale tetraedrului regulat. Etapele cheie sunt abordate, dar unele justificări intermediare pentru calculul lui T și derivarea inegalităților pentru k par/impar ar putea fi mai detaliate. Exemplul final este bine construit și demonstrează înțelegerea condițiilor problemei.

Reprezentări vizuale: Scrisul este clar și lizibil. Utilizarea casetelor de pe caiet ajută la organizare.

Raționament: Elevul a înțeles bine problema și a abordat corect primii pași, definind distanțele și relația sumei acestora. Deși a încercat să derive inegalitățile pentru k par și impar, a existat o eroare de calcul în cazul impar, care a afectat completitudinea argumentului. Cu toate acestea, a reușit să identifice corect numărul maxim de elemente și să ofere un exemplu valid. Este important să revizuiască partea de calcul pentru relațiile cu T și s-ul.

Puncte forte

Se definesc ai, bi, ci, di ca distanțele de la punctul Mi la planele (BCD), (ACD), (ABD) și (ABC), unde ai, bi, ci, di ∈ {0, 1, 2, ..., 6}.: Elevul definește corect ai, bi, ci, di ca distanțe de la un punct la fețele tetraedrului și indică intervalul {0, 1, ..., 6}.
Se observă că suma distanțelor de la un punct interior la fețele unui tetraedru regulat este egală cu înălțimea tetraedrului, deci ai + bi + ci + di = 6.: Elevul a observat corect că suma distanțelor este 6 (presupunând înălțimea 6, conform ipotezei). Aceasta este o înțelegere fundamentală a proprietății solicitate.
Se construiește un exemplu de mulțime cu 8 elemente, precum (0, 1, 2, 3), (1, 0, 2, 3), (0, 1, 3, 2), (1, 0, 3, 2), (2, 3, 0, 1), (2, 3, 1, 0), (3, 2, 1, 0) și (3, 2, 0, 1).: Elevul a furnizat un exemplu de mulțime cu 8 elemente care respectă proprietățile cerute: (0, 1, 2, 3), (1, 0, 2, 3), (0, 1, 3, 2), (1, 0, 3, 2), (2, 3, 0, 1), (2, 3, 1, 0), (3, 2, 1, 0), (3, 2, 0, 1).

Detalii barem(4)

Se definesc ai, bi, ci, di ca distanțele de la punctul Mi la planele (BCD), (ACD), (ABD) și (ABC), unde ai, bi, ci, di ∈ {0, 1, 2, ..., 6}.

1/1

Elevul definește corect ai, bi, ci, di ca distanțe de la un punct la fețele tetraedrului și indică intervalul {0, 1, ..., 6}.

Se observă că suma distanțelor de la un punct interior la fețele unui tetraedru regulat este egală cu înălțimea tetraedrului, deci ai + bi + ci + di = 6.

1/1

Elevul a observat corect că suma distanțelor este 6 (presupunând înălțimea 6, conform ipotezei). Aceasta este o înțelegere fundamentală a proprietății solicitate.

Se calculează T = 6k și se obțin inegalitățile pentru k par (k = 2s) și impar (k = 2s + 1), rezultând k <= 8 pentru k par și k <= 7 pentru k impar.

2/3

Elevul a încercat să derive inegalitățile pentru k par și impar, dar a făcut o greșeală în calculul T = 12s + 6, care duce la T=4s^2, rezultând k<=7. Pentru k par a obținut k<=8, ceea ce este corect, dar demonstrația nu este completă și are erori de calcul.
Elevul a încercat să derive inegalitățile pentru k par și impar, dar a făcut o greșeală în calculul T = 12s + 6, care duce la T=4s^2, rezultând k<=7. Pentru k par a obținut k<=8, ceea ce este corect, dar demonstrația nu este completă și are erori de calcul.

Se construiește un exemplu de mulțime cu 8 elemente, precum (0, 1, 2, 3), (1, 0, 2, 3), (0, 1, 3, 2), (1, 0, 3, 2), (2, 3, 0, 1), (2, 3, 1, 0), (3, 2, 1, 0) și (3, 2, 0, 1).

2/2

Elevul a furnizat un exemplu de mulțime cu 8 elemente care respectă proprietățile cerute: (0, 1, 2, 3), (1, 0, 2, 3), (0, 1, 3, 2), (1, 0, 3, 2), (2, 3, 0, 1), (2, 3, 1, 0), (3, 2, 1, 0), (3, 2, 0, 1).